Fazekas speelde van 1980 tot 1984 in totaal vier seizoenen voor Antwerp. Daarin kwam hij 172 keer in actie en scoorde hij 65 doelpunten. In het seizoen '80-'81 was hij clubtopschutter. In 1984 volgde een overstap naar Sint-Truiden, waar hij een jaar later een punt zette achter zijn spelerscarrière. Met Hongarije werd Fazekas op de Spelen van 1968 in Mexico-Stad olympisch kampioen en nam hij deel aan de WK's van 1978 in Argentinië en 1982 in Spanje, waar hij in de laatste groepswedstrijd 1-1 gelijkspeelde tegen de Rode Duivels.

Na zijn spelerscarrière werd Fazekas trainer bij Racing Jet Brussel (1985-1986), Eendracht Aalst (1986-1988 en 1990-1991), Harelbeke (1988-1990) en Union Sint-Gillis (1992-1994). In het seizoen 1995-1996 was de Hongaar aan de slag bij Antwerp, meteen ook zijn laatste club als trainer. "Hij glunderde toen hij eerder dit seizoen (in januari in de kwartfinales van de Croky Cup tegen La Louvière, red.) alsnog eens een bezoek kon brengen aan de Bosuil en door onze fans op een prachtige, warme manier onthaald werd. László Fazekas, legend van de club, is 78 geworden", klinkt het bij de Great Old.